Главная

Описание

Блог (128)

Показать еще :

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

  1. Что такое равносторонний треугольник
  2. Высота равностороннего треугольника
  3. Площадь равностороннего треугольника
  4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
  5. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
  6. Периметр равностороннего треугольника формула
  7. Задача: вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
  8. Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
  9. Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
  10. Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

  1. Что такое равносторонний треугольник

    В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

    На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

    Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

    Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

    Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

    Равносторонний треугольник называют еще правильным.

    Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

    Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

    Нет!? Не угадал... жаль... [wall]

    Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

    180° разделить на 3...

    180°/3 = 60°

    Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны...

    Равносторонний треугольник максимальный угол

    Поисковый запрос -> "равносторонний треугольник максимальный угол" - не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике - потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!

    60°

  2. Высота равностороннего треугольника

    Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ "a", то формула звучит так :

    Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону Доказательство :

    Докажем что высота равностороннего треугольника равна - корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую...

    И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

    60 / 2 = 30

    И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

    И далее мы можем получить угол между высотой "h" и стороной "a".

    180 - 90 = 90

    И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены...

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    ...и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

    c² = a² + b² a² = + h² = 4 + h²

    Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

    4a² = a² + 4h²

    высоту оставляем одну слева и получаем:

    4a² - a² = 4h² -> 4h² = 4a² - a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4

    И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны...

    h = 3a²/4

    И далее получаем равносторонний треугольник

  3. Площадь равностороннего треугольника

    Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

    Она звучит так:

    Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

    Площадь равностороннего треугольника
    Доказательство :

    Доказательство очень простое !

    Выше мы уже доказали, чему равна высота... возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

    Вторая сторона будет равна а/2

    И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

    Мы получаем предварительный результат:

    Площадь равностороннего треугольника

    И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

    Площадь равностороннего треугольника

    получаем :

    Площадь равностороннего треугольника

    И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

    Площадь равностороннего треугольника

  4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

    Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

    Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи - но это одинаковые значения.

    Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Отсюда мы получаем, что :

    r =13 * h

    Подставляем ранее выведенную высоту

    r =13 * 32a = 36a

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Не будем здесь доказывать, что два треугольника "ABM" и "AOK" подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент "Х".

    Из этого мы можем создать зависимость:

    "r" - относится к отрезку "AK", как "BM" к "AM"

    "AK" и "BM" равны одному и тому же а/2.

    "AM" - это у нас высота - "h".

    Далее мы можем записать эту зависимость как :

    r : а2 = а2 : h

    Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

    r * 2а = а2 * 1h

    Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

    r = а2 * а2 * 1h

    В последней дроби заменяем "h" на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

    r = а2 * а2 * 1h = а2 * а2 * 23 * а

    Парами сокращаем а и 2

    r = а2 * а2 * 23 * а

    И в итоге получаем :

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

  5. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

    С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

    Радиус описанной окружности равностороннего треугольника Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

    Или :

    Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

  6. Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

    Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

    Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

    Решение задачи :

    Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

    180°/3 = 60°

    И если мы посмотрим на треугольник ABC, то поскольку, все углы данного разностороннего треугольника равны 60°,

    То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

    И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

    Поэтому сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

    Но "BE" не равна "BD". Катет всегда будет меньше гипотенузы.

    Если "BE" не равно "BD", то "BD" не равно "AB", что означает, что точка B не находится в середине отрезка "AD".

    Отсюда мы делаем вывод :

    Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!


  7. Периметр равностороннего треугольника формула

    Напишите "формулу периметра равностороннего треугольника":

    Обозначается периметр буквой P

    Сторону обозначим через - а

    Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

    то периметр равностороннего треугольника будет равен :

    3 умноженное на сторону а треугольника:

    Периметр равностороннего  треугольника формула

    Формула периметра равностороннего треугольника

    P = 3a

    Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

    P = a + a + a

    Но такого написания, я никогда не встречал.


  8. Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    Условие задачи :

    Известна сторона "CB" вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника "AM".

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

    Сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

    Поэтому, высота "AN" маленького треугольника будет равна :

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

  9. Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Условие задачи :

    Известна площадь равностороннего треугольника "S", требуется узнать его сторону "а".

    Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

    Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Нам всего-то навсего нужно выразить сторону "а" через "S"

    S = 3 4*a²

    Умножаем обе стороны на

    43

    Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

    S* 43 = a²

    Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Преобразуем :

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Преобразуем еще раз:

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.


  10. Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    Повстречал вот такой поисковый запрос :

    "если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний"

    Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

    Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

    Вообще... эта одна из самых простых задач!

    А почему, вы узнаете дальше.

    Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

    Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    И второе - это радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь : :

    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    Далее - нужно разделить больший радиус на меньший:

    Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить...

    После этого, смотрим, что можно сократить

    Сокращаются квадратный корень из 3.

    Сторона "а".

    6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

    И вообще... из всех только и остается 2.

    Т.е. вот мы и доказали, что :

    Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности
    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний



Еще :

У нас большая чистка.

Второй калькулятор

Счетчик с нуля

Фильмы :
Php, Js, Html, Css :