logo

Описание

Блог

Онлайн

Знак

Проценты

Сложить

Вычитание

Деление

Умножение

Корень

Степень

Определение

Число

Отрицательные

Дробь

Перевод дробей

Набрать дробь

Сложить дробь

Вычитание дробей

Умножить дробь

Делить дробь

Смешанная дробь

Сложить смешанную

Вычесть смешанную

Умножить смешанную

Делить смешанную

Десятичная дробь

Сложить десятичную

Вычесть десятичную

Умножить десятичную

Делить десятичную

Операции столбиком

Признак делимости

Задача

Новости

Нок

Нод

Площадь

Периметр

Объем

Квадрат

Треугольник

Круг

Куб

Трапеция

Прямоугольник

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Всё о равностороннем треугольнике!

  1. Что такое равносторонний треугольник
  2. Высота равностороннего треугольника
  3. Площадь равностороннего треугольника
  4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
  5. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
  6. Периметр равностороннего треугольника формула
  7. Задача: вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
  8. Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
  9. Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
  10. Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

  1. Что такое равносторонний треугольник

    В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

    На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

    Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

    Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

    Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

    Равносторонний треугольник называют еще правильным.

    Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

    Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

    Нет!? Не угадал... жаль... wall

    Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

    180° разделить на 3...

    180°/3 = 60°

    Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны...

    Равносторонний треугольник максимальный угол

    Поисковый запрос -> "равносторонний треугольник максимальный угол" - не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике - потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!

    60°

  2. Высота равностороннего треугольника

    Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ "a", то формула звучит так :

    Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону Доказательство :

    Докажем что высота равностороннего треугольника равна - корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую...

    И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

    60 / 2 = 30

    И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

    И далее мы можем получить угол между высотой "h" и стороной "a".

    180 - 90 = 90

    И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены...

    Высота равностороннего треугольника формула через сторону

    ...и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

    c² = a² + b² a² = + h² = 4 + h²

    Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

    4a² = a² + 4h²

    высоту оставляем одну слева и получаем:

    4a² - a² = 4h² -> 4h² = 4a² - a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4

    И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны...

    h = 3a²/4

    И далее получаем равносторонний треугольник


  3. Площадь равностороннего треугольника

    Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

    Она звучит так:

    Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

    Площадь равностороннего треугольника
    Доказательство :

    Доказательство очень простое !

    Выше мы уже доказали, чему равна высота... возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

    Вторая сторона будет равна а/2

    И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

    Мы получаем предварительный результат:

    Площадь равностороннего треугольника

    И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

    Площадь равностороннего треугольника

    получаем :

    Площадь равностороннего треугольника

    И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

    Площадь равностороннего треугольника

  4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

    Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

    Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

    Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи - но это одинаковые значения.

    Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

    Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Отсюда мы получаем, что :

    r =13 * h

    Подставляем ранее выведенную высоту

    r =13 * 32a = 36a

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

    Не будем здесь доказывать, что два треугольника "ABM" и "AOK" подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент "Х".

    Из этого мы можем создать зависимость:

    "r" - относится к отрезку "AK", как "BM" к "AM"

    "AK" и "BM" равны одному и тому же а/2.

    "AM" - это у нас высота - "h".

    Далее мы можем записать эту зависимость как :

    r : а2 = а2 : h

    Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

    r * 2а = а2 * 1h

    Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

    r = а2 * а2 * 1h

    В последней дроби заменяем "h" на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

    r = а2 * а2 * 1h = а2 * а2 * 23 * а

    Парами сокращаем а и 2

    r = а2 * а2 * 23 * а

    И в итоге получаем :

    Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

  5. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

    С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

    Радиус описанной окружности равностороннего треугольника Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

    Или :

    Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

  6. Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

    Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

    Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

    Решение задачи :

    Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

    180°/3 = 60°

    И если мы посмотрим на треугольник ABC, то поскольку, все углы данного разностороннего треугольника равны 60°,

    То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

    И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

    Поэтому сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

    Но "BE" не равна "BD". Катет всегда будет меньше гипотенузы.

    Если "BE" не равно "BD", то "BD" не равно "AB", что означает, что точка B не находится в середине отрезка "AD".

    Отсюда мы делаем вывод :

    Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!


  7. Периметр равностороннего треугольника формула

    Напишите "формулу периметра равностороннего треугольника":

    Обозначается периметр буквой P

    Сторону обозначим через - а

    Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

    то периметр равностороннего треугольника будет равен :

    3 умноженное на сторону а треугольника:

    Периметр равностороннего  треугольника формула

    Формула периметра равностороннего треугольника

    P = 3a

    Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

    P = a + a + a

    Но такого написания, я никогда не встречал.


  8. Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    Условие задачи :

    Известна сторона "CB" вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника "AM".

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

    Сторона "AB" равна стороне квадрата "BC" и стороне "BE"

    Поэтому, высота "AN" маленького треугольника будет равна :

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

    И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

    Задача: найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

  9. Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Условие задачи :

    Известна площадь равностороннего треугольника "S", требуется узнать его сторону "а".

    Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

    Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Нам всего-то навсего нужно выразить сторону "а" через "S"

    S = 3 4*a²

    Умножаем обе стороны на

    43

    Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

    S* 43 = a²

    Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Преобразуем :

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Преобразуем еще раз:

    Задача: найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

    Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.


  10. Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    Повстречал вот такой поисковый запрос :

    "если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний"

    Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

    Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

    Вообще... эта одна из самых простых задач!

    А почему, вы узнаете дальше.

    Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

    Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    И второе - это радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь : :

    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

    Далее - нужно разделить больший радиус на меньший:

    Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить...

    После этого, смотрим, что можно сократить

    Сокращаются квадратный корень из 3.

    Сторона "а".

    6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

    И вообще... из всех только и остается 2.

    Т.е. вот мы и доказали, что :

    Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности
    Задача: если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний
3026 Марат 10/10/2020 19:12
Теги:
равносторонний треугольник
формула высоты равностороннего треугольника
доказательство равностороннего треугольника
в равностороннем треугольнике все углы равны аксиома
чему равны углы равностороннего треугольника в градусах